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P3387 【模板】缩点

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先缩点，再拓扑排序dp

P3387.【模板】缩点

题目描述：

给出一个 $n$ 个点， $m$ 条边的有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使得路径经过的点权值之和最大，只需要输出这个权值和。

允许多次经过一条边或者一个点，但是重复经过的点，权值只计算一次。

数据范围：

$1\le n \le 10^4, 1\le m \le 10^5;0\le a_i\le 10^3$

题解：

因为可以多次经过，但是权值只会计算一次，所以可以进行缩点，将图中的环缩成一个点，图就变成了有向无环图DAG。缩点时需要记录新的强连通分量的权值，新点的权值就是整个强连通分量的权值之和。

最后使用动态规划求解最大权值。一个 DAG 路径的最大权值很显然 $dp[v] = \max(dp[v], dp[u] + value[v])$ 。但是在图中如何dp呢？这就需要用到拓扑排序了，拓扑排序可以消除后效性，按照拓扑排序的顺序对图进行dp，最后得到解。

代码：

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using namespace std;
using namespace FAST_IO;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INF_LL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-5;
const int maxn = 1e4 + 10;
const int maxm = 1e5 + 10;
int t, n, m, k;
int value1[maxn];
vector<int> g1[maxn], g2[maxn];

int dfn[maxn], low[maxn], dfn_clock = 0;
int st[maxn], top = -1;
bool vis[maxn];
int scc_id[maxn], value2[maxn], scc_cnt = 0;

int indeg[maxn], dp[maxn];
void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++dfn_clock;
    vis[u] = true;
    st[++top] = u;
    for (int i = 0; i < g1[u].size(); ++i)
    {
        int v = g1[u][i];
        if (!dfn[v])
        {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[v], low[u]);
        }
        else
        {
            if (vis[v])
                low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (low[u] == dfn[u])
    {
        ++scc_cnt;
        while (true)
        {
            scc_id[st[top]] = scc_cnt;
            vis[st[top]] = false;
            value2[scc_cnt] += value1[st[top]];
            if (st[top--] == u)
                break;
        }
    }
}

void topo()
{
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++i)
    {
        if (!indeg[i])
        {
            q.push(i);
            dp[i] = value2[i];
        }
    }
    while (q.size())
    {
        auto u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < g2[u].size(); ++i)
        {
            int v = g2[u][i];
            dp[v] = max(dp[v], dp[u] + value2[v]);
            --indeg[v];
            if (!indeg[v])
                q.push(v);
        }
    }
}
int main()
{
// #define COMP_DATA
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    read(n, m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        read(value1[i]);
    for (int i = 1, u, v; i <= m; ++i)
    {
        read(u, v);
        g1[u].emplace_back(v);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (!dfn[i])
            tarjan(i);
    }
    // 建立新图
    for (int u = 1; u <= n; ++u)
    {
        int uu = scc_id[u];
        for (int j = 0; j < g1[u].size(); ++j)
        {
            int v = g1[u][j];
            int vv = scc_id[v];
            if (uu == vv)
                continue;
            g2[uu].emplace_back(vv);
            indeg[vv]++;
        }
    }
    // topo 排序
    topo();
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++i)
        ans = max(ans, dp[i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}