Luobuyu's Blog

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lingo线性规划

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本文字数： 3k 阅读时长 ≈ 3 分钟
数学建模第一次实验

一、背景与问题

一位农民承包了 6 块耕地共 300 亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，各种农产品的计划播种面积、每块土地种植不同农产品的单产收益如下表所示

单产收益（元/亩）计划播种面积（亩）
地块 1地块 2地块 3地块 4地块 5地块 6
小麦500550630100080070076
玉米80070060095090093088
水果100096084065060070096
蔬菜1200104098086088078040
地块面积（亩）425644396059

问如何安排种植计划，可得到最大的总收益．

二、问题分析

由题意，不难看出优化模型的决策变量是每种作物在每个地块种植的面积。决策变量受到计划播种面积和地块面积的约束。

三、模型建立：

决策变量：用 $ x_{i, j} $ 表示将第 $ i $ 种作物种植到第 $ j $ 块地的亩数

已知参数：作物 $ i $ 的种植面积限制 $ plan_i $ ，地块 $ j $ 的面积限制 $ tot_j $ ，第 $ i $ 种作物种植到第 $ j $ 块地的单产收益 $ a_{i, j} $

决策目标：

约束条件：

四、模型求解

将以上模型输入 $ LINGO $ ：

源代码如下：

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sets:
plan/1..4/: x;
tot/1..6/: y;
link(plan, tot): p, t;
endsets

data:
x = 76 88 96 40;
y = 42 56 44 39 60 59;

p = 500 550 630 1000 800 700
	800 700 600 950 900 930
	1000 960 840 650 600 700
	1200 1040 980 860 880 780;
enddata

max = @sum(link(i, j) : p(i, j) * t(i, j));
@for(plan(i) : @sum(tot(j) : t(i, j)) = x(i));
@for(tot(j) : @sum(plan(i) : t(i, j)) <= y(j));

求解可以得到：

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Global optimal solution found.
  Objective value:                              284230.0
  Infeasibilities:                              0.000000
  Total solver iterations:                            10
  Elapsed runtime seconds:                          0.07

  Model Class:                                        LP

  Total variables:                     24
  Nonlinear variables:                  0
  Integer variables:                    0

  Total constraints:                   11
  Nonlinear constraints:                0

  Total nonzeros:                      72
  Nonlinear nonzeros:                   0

                                Variable           Value        Reduced Cost
                                   X( 1)        76.00000            0.000000
                                   X( 2)        88.00000            0.000000
                                   X( 3)        96.00000            0.000000
                                   X( 4)        40.00000            0.000000
                                   Y( 1)        42.00000            0.000000
                                   Y( 2)        56.00000            0.000000
                                   Y( 3)        44.00000            0.000000
                                   Y( 4)        39.00000            0.000000
                                   Y( 5)        60.00000            0.000000
                                   Y( 6)        59.00000            0.000000
                                P( 1, 1)        500.0000            0.000000
                                P( 1, 2)        550.0000            0.000000
                                P( 1, 3)        630.0000            0.000000
                                P( 1, 4)        1000.000            0.000000
                                P( 1, 5)        800.0000            0.000000
                                P( 1, 6)        700.0000            0.000000
                                P( 2, 1)        800.0000            0.000000
                                P( 2, 2)        700.0000            0.000000
                                P( 2, 3)        600.0000            0.000000
                                P( 2, 4)        950.0000            0.000000
                                P( 2, 5)        900.0000            0.000000
                                P( 2, 6)        930.0000            0.000000
                                P( 3, 1)        1000.000            0.000000
                                P( 3, 2)        960.0000            0.000000
                                P( 3, 3)        840.0000            0.000000
                                P( 3, 4)        650.0000            0.000000
                                P( 3, 5)        600.0000            0.000000
                                P( 3, 6)        700.0000            0.000000
                                P( 4, 1)        1200.000            0.000000
                                P( 4, 2)        1040.000            0.000000
                                P( 4, 3)        980.0000            0.000000
                                P( 4, 4)        860.0000            0.000000
                                P( 4, 5)        880.0000            0.000000
                                P( 4, 6)        780.0000            0.000000
                                T( 1, 1)        0.000000            290.0000
                                T( 1, 2)        0.000000            200.0000
                                T( 1, 3)        6.000000            0.000000
                                T( 1, 4)        39.00000            0.000000
                                T( 1, 5)        31.00000            0.000000
                                T( 1, 6)        0.000000            130.0000
                                T( 2, 1)        0.000000            90.00000
                                T( 2, 2)        0.000000            150.0000
                                T( 2, 3)        0.000000            130.0000
                                T( 2, 4)        0.000000            150.0000
                                T( 2, 5)        29.00000            0.000000
                                T( 2, 6)        59.00000            0.000000
                                T( 3, 1)        2.000000            0.000000
                                T( 3, 2)        56.00000            0.000000
                                T( 3, 3)        38.00000            0.000000
                                T( 3, 4)        0.000000            560.0000
                                T( 3, 5)        0.000000            410.0000
                                T( 3, 6)        0.000000            340.0000
                                T( 4, 1)        40.00000            0.000000
                                T( 4, 2)        0.000000            120.0000
                                T( 4, 3)        0.000000            60.00000
                                T( 4, 4)        0.000000            550.0000
                                T( 4, 5)        0.000000            330.0000
                                T( 4, 6)        0.000000            460.0000

                                     Row    Slack or Surplus      Dual Price
                                       1        284230.0            1.000000
                                       2        0.000000            630.0000
                                       3        0.000000            730.0000
                                       4        0.000000            840.0000
                                       5        0.000000            1040.000
                                       6        0.000000            160.0000
                                       7        0.000000            120.0000
                                       8        0.000000            0.000000
                                       9        0.000000            370.0000
                                      10        0.000000            170.0000
                                      11        0.000000            200.0000

结果为：

image-20201029201932475

最大收益为： $ 284230.0 $ 30.0 $ 230.0 $ 30.0 $$